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In mwawmatematica, una mwbaσ-algebra (pronunciata mwbqsigma-algebra) o mwbgtribù (termine introdotto dal gruppo mwbwBourbaki) su di un mwcainsieme mwcq Ω Ω {\displaystyle \Omega } è una famiglia di sottoinsiemi di mwcg Ω Ω {\displaystyle \Omega } che ha delle mwcwproprietà di chiusura rispetto ad alcune operazioni insiemistiche, in particolare l'operazione di mwdaunione mwdqnumerabile e di mwdgpassaggio al complementare. La struttura di σ-algebra è particolarmente utile nella mwdwteoria della misura e in quella della mweaprobabilità ed è alla base di tutte le nozioni di misurabilità, sia di insiemi che di mweqfunzioni. Essa è un caso particolare di mwegalgebra di insiemi e, rispetto a quest'ultima, è utilizzata molto più ampiamente in mwewanalisi matematica (per via delle numerose proprietà che le mwfamisure definite su σ-algebre hanno rispetto alle operazioni di mwfqpassaggio al limite).

Le σ-algebre che ricorrono più spesso in matematica sono la mwfwσ-algebra boreliana e la mwgaσ-algebra di Lebesgue. Anche storicamente queste due classi di σ-algebre hanno motivato lo sviluppo del concetto stesso di σ-algebra, nato a cavallo di mwgqXIX secolo e mwggXX secolo col fine di formalizzare la teoria della misura. Esso, infatti, precisa l'idea euristica di evento o insieme misurabile. Molte importanti strutture astratte, al centro dei progressi della matematica dell'ultimo secolo, sono definibili mediante σ-algebre.cite-ref-1[1]

• Definizione e prime proprietà

• Strutture definite utilizzando σ-algebre

• Spazio misurabile

• Funzioni misurabili

• Sistema dinamico

• Principali risultati

• Esempi ed applicazioni

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

Dato un insieme mwig Ω Ω {\displaystyle \Omega } , si definisce σ-algebra su mwiw Ω Ω {\displaystyle \Omega } una famiglia mwja F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} di sottoinsiemi di mwjq Ω Ω {\displaystyle \Omega } tale che:cite-ref-def-2-0[2]

• L'insieme mwla Ω Ω {\displaystyle \Omega } appartiene a mwlq F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} .

• Se un insieme mwlw A {\displaystyle A} è in mwma F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} , allora il suo mwmqcomplementare è in mwmg F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} .

• Se gli elementi mwna A i {\displaystyle A_{i}} di una famiglia mwnqnumerabile di insiemi mwng { A i } i ∈ ∈ N {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }} sono in mwnw F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} , allora la loro mwoaunione:

mwowmwpamwpq A = ⋃ ⋃ i = 1 ∞ ∞ A i {\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}

appartiene a mwqa F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} .

Se mwqg F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} è una σ-algebra su mwqw Ω Ω {\displaystyle \Omega } , allora mwra Ω Ω {\displaystyle \Omega } si dice mwrqspazio misurabile e gli elementi di mwrg F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} sono detti mwrwinsiemi misurabili in mwsa Ω Ω {\displaystyle \Omega } .cite-ref-def-2-1[2]

Una σ-algebra, in particolare, è un'mwtgalgebra di insiemi, poiché la terza condizione sopraindicata implica la stabilità per unione mwtwfinita richiesta nella definizione di struttura di algebra. In tal caso si richiede la stabilità anche per unioni numerabili, da cui l'identificativo σ, un'abbreviazione per mwuasuccessione.

Dalla definizione segue che:cite-ref-3[3]

• L'mwwainsieme vuoto appartiene a mwwq F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} , essendo il complementare di mwwg Ω Ω {\displaystyle \Omega } .

• Una σ-algebra mwxa F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} è stabile per mwxqintersezione numerabile. Infatti, se mwxg A i ∈ ∈ F {\displaystyle A_{i}\in {\mathfrak {F}}} per ogni mwxw i ∈ ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } , allora:

mwygmwywmwza ⋂ ⋂ i ∈ ∈ N A i = ( ⋃ ⋃ i ∈ ∈ N A i c ) c ∈ ∈ F . {\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}^{c}\right)^{c}\in {\mathfrak {F}}.}

• Se gli insiemi mwzw A {\displaystyle A} e mwaa B {\displaystyle B} appartengono a mwaq F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} , allora:

mwbamwbqmwbg A − − B = B c ∩ ∩ A ∈ ∈ F . {\displaystyle A-B=B^{c}\cap A\in {\mathfrak {F}}.}

Date due σ-algebre mwca F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} , mwcq G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} su di uno stesso insieme mwcg Ω Ω {\displaystyle \Omega } , si dice che mwcw F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} è mwdamwdqmeno fine di mwdg G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} se mwdw F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} è contenuta in mwea G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} , ovvero se ogni sottoinsieme mweq E ⊂ ⊂ Ω Ω {\displaystyle E\subset \Omega } appartenente ad mweg F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} appartiene anche a mwew G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} . La relazione mwfaessere meno fine di definisce un mwfqordinamento parziale sull'insieme delle σ-algebre su di un dato insieme mwfg Ω Ω {\displaystyle \Omega } .

Dati due insiemi mwga ( Ω Ω 1 , F ) {\displaystyle (\Omega _{1},{\mathfrak {F}})} e mwgq ( Ω Ω 2 , G ) {\displaystyle (\Omega _{2},{\mathfrak {G}})} , dove mwgg F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} e mwgw G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} sono le rispettive sigma-algebre, la sigma-algebra mwha F ⊗ ⊗ G {\displaystyle {\mathfrak {F}}\otimes {\mathfrak {G}}} è costituita da sottoinsiemi del mwhqprodotto cartesiano mwhg Ω Ω 1 × × Ω Ω 2 {\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}} , ed è la più piccola sigma-algebra che contiene mwhw { R × × F : R ∈ ∈ F , F ∈ ∈ G } {\displaystyle \{R\times F:R\in {\mathfrak {F}},F\in {\mathfrak {G}}\}} .

La nozione di σ-algebra fornisce la possibilità di costruire strutture matematiche più complesse a partire da essa. Le seguenti strutture fondamentali, largamente studiate durante il mwigXX secolo, stanno alla base della teoria della misura e dell'integrale di Lebesgue.

Uno spazio misurabile è una coppia mwjg ( Ω Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})} costituita da un insieme non vuoto mwjw Ω Ω {\displaystyle \Omega } ed una σ-algebra mwka F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} su mwkq Ω Ω {\displaystyle \Omega } . Gli elementi di mwkg F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} sono detti insiemi misurabili di mwkw Ω Ω {\displaystyle \Omega } .cite-ref-def-2-2[2] Gli spazi misurabili formano una mwmacategoria, i cui mwmqmorfismi sono le mwmgfunzioni misurabili. L'insieme mwmw Ω Ω {\displaystyle \Omega } è chiamato a volte mwnaspazio campionario, soprattutto nelle applicazioni inerenti alla mwnqstatistica e la mwngprobabilità.

Si definisce spazio di misura uno mwogspazio misurabile mwow ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})} dotato di una mwpamisura mwpq μ μ {\displaystyle \mu } positiva definita sulla mwpgσ-algebra mwpw F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} costituita da sottoinsiemi misurabili di mwqa X {\displaystyle X} .cite-ref-4[4] Un tale spazio si rappresenta con una terna mwrq ( X , F , μ μ ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )} .

Se mwrw | μ μ | ( X ) < ∞ ∞ {\displaystyle |\mu |(X)<\infty } lo spazio di misura si dice mwsafinito. Se inoltre mwsq X {\displaystyle X} può scriversi come mwsgunione mwswnumerabile di insiemi:

mwtg X = ⋃ ⋃ i ∈ ∈ N X i {\displaystyle X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}

di misura finita, cioè tali che mwua | μ μ | ( X i ) < ∞ ∞ {\displaystyle |\mu |(X_{i})<\infty } , allora lo spazio misurabile si dice mwuqσ-finito.

Il "completamento" di uno spazio di misura si ottiene aggiungendo agli insiemi di misura nulla tutti i loro sottoinsiemi. Il completamento della σ-algebra mwuw F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} di uno spazio di misura è cioè la più piccola σ-algebra che contiene mwva F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} e tutti i sottoinsiemi degli insiemi di mwvq F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} che hanno misura nulla.

Siano mwwq ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})} e mwwg ( Y , G ) {\displaystyle (Y,{\mathfrak {G}})} due mwwwspazi misurabili. Una mwxafunzione mwxq f : : X → → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} viene detta misurabile o mwxg ( F , G ) {\displaystyle ({\mathfrak {F}},{\mathfrak {G}})} -misurabile se mwxw f − − 1 ( V ) ∈ ∈ F {\displaystyle f^{-1}(V)\in {\mathfrak {F}}} per ogni mwya V ∈ ∈ G , {\displaystyle V\in {\mathfrak {G}},} cioè se per ogni mwyqinsieme misurabile mwyg V {\displaystyle V} di mwyw Y {\displaystyle Y} la mwzacontroimmagine mwzq f − − 1 ( V ) {\displaystyle f^{-1}(V)} è un mwzginsieme misurabile di mwzw X {\displaystyle X} :cite-ref-def-2-3[2]

mw1g f − − 1 ( A ) ∈ ∈ F , ∀ ∀ A ∈ ∈ G . {\displaystyle f^{-1}(A)\in {\mathfrak {F}},\qquad \forall A\in {\mathfrak {G}}.}

Utilizzando il linguaggio della mw2ateoria delle categorie si può definire una funzione misurabile come un mw2qmorfismo di spazi misurabili.

Sia mw3q ( Ω Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})} uno spazio misurabile, mw3g S {\displaystyle S} un mw3wsemigruppo e, per ogni mw4a s ∈ ∈ S {\displaystyle s\in S} , sia mw4q T s : Ω Ω ↦ ↦ Ω Ω {\displaystyle T_{s}:\Omega \mapsto \Omega } un'applicazione misurabile con la proprietà che mw4g T s ∘ ∘ T t = T s t {\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{st}} . In altri termini, mw4w T {\displaystyle T} è un'mw5aazione misurabile di mw5q S {\displaystyle S} su mw5g Ω Ω {\displaystyle \Omega } . La terna mw5w ( Ω Ω , F , T ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},T)} è detta sistema dinamico.

Data una famiglia mw6g { F α α } α α ∈ ∈ A {\displaystyle \left\{{\mathfrak {F}}_{\alpha }\right\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}} qualunque di σ-algebre, si verifica che la loro mw6wintersezione:

mw7g F A := ⋂ ⋂ α α ∈ ∈ A F α α {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\mathcal {A}}:=\bigcap _{\alpha \in {\mathcal {A}}}{\mathfrak {F}}_{\alpha }}

è ancora una σ-algebra. Essa è la più grande σ-algebra contenuta in tutte le algebre mw8a F α α {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\alpha }} , ossia se mw8q F ⊂ ⊂ F α α {\displaystyle {\mathfrak {F}}\subset {\mathfrak {F}}_{\alpha }} per ogni mw8g α α ∈ ∈ A {\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}} , allora mw8w F ⊂ ⊂ F A {\displaystyle {\mathfrak {F}}\subset {\mathfrak {F}}_{\mathcal {A}}} .

Pertanto, data una famiglia qualsiasi mw9q G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} di sottoinsiemi di mw9g Ω Ω {\displaystyle \Omega } , si può considerare la σ-algebra generata da mw9w G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} come l'intersezione di tutte le σ-algebre contenenti mw-a G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} . Dunque, dalla definizione stessa di σ-algebra generata da mw-q G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} segue che essa è la più piccola σ-algebra contenente mw-g G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} . Questa osservazione è molto utilizzata per la costruzione di misure, in quanto consente di definire una σ-algebra semplicemente fornendo una famiglia di insiemi che la generano. La σ-algebra generata da un insieme mw-w G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} è spesso denotata mw-a σ σ ( G ) {\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}})} .

Nel caso di famiglie finite mw-g G = { G 1 , … … , G n } {\displaystyle {\mathfrak {G}}=\{G_{1},\ldots ,G_{n}\}} , tale σ-algebra si può enumerare esplicitamente ponendo:

mwaqe σ σ ( G ) = { ⋃ ⋃ i = 1 n G i ∗ ∗ , G i ∗ ∗ = G i , G i C , n ∈ ∈ N } {\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}})=\{\bigcup _{i=1}^{n}G_{i}^{*},G_{i}^{*}=G_{i},G_{i}^{C},n\in \mathbb {N} \}}

e mwaqmchiudendo la famiglia rispetto alle operazioni di unione e complementare.

Un mwaquπ-sistema mwaqy P {\displaystyle {\mathcal {P}}} è una famiglia non vuota di sottoinsiemi di mwaqc Ω Ω {\displaystyle \Omega } stabile per intersezione: se mwaqg A , B ∈ ∈ P {\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}} allora mwaqk A ∩ ∩ B ∈ ∈ P {\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {P}}} . Analogamente, una famiglia mwaqo L {\displaystyle {\mathcal {L}}} di sottoinsiemi di mwaqs Ω Ω {\displaystyle \Omega } è detta un λ-sistema se:

• mwaq8 Ω Ω ∈ ∈ L {\displaystyle \Omega \in {\mathcal {L}}} .

• mware L {\displaystyle {\mathcal {L}}} è chiusa per passaggio al complementare, ossia se mwari A ∈ ∈ L , {\displaystyle A\in {\mathcal {L}},} allora mwarm A c ∈ ∈ L {\displaystyle A^{c}\in {\mathcal {L}}} .

• mwaru L {\displaystyle {\mathcal {L}}} è stabile per unioni numerabili disgiunte: se gli insiemi mwary A i ∈ ∈ L {\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {L}}} per mwarc i ∈ ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } sono a due a due disgiunti, allora:

mwaromwarsmwarw ⋃ ⋃ i ∈ ∈ N A i ∈ ∈ L . {\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {L}}.}

In tale contesto, è possibile dimostrare in maniera elementare il teorema π-λ di Dynkin, che afferma che su un qualunque insieme mwar4 Ω Ω {\displaystyle \Omega } non vuoto, se un π-sistema mwar8 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} è contenuto in un λ-sistema mwasa L {\displaystyle {\mathcal {L}}} , allora l'intera σ-algebra generata da mwase P {\displaystyle {\mathcal {P}}} è contenuta in mwasi L {\displaystyle {\mathcal {L}}} . Ossia mwasm P ⊂ ⊂ L {\displaystyle {\mathcal {P}}\subset {\mathcal {L}}} implica mwasq σ σ ( P ) ⊂ ⊂ L {\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subset {\mathcal {L}}} .

Tale teorema è molto spesso utilizzato in teoria della misuracite-ref-5[5]. Ad esempio, ne segue che è sufficiente assegnare i valori di una misura mwaso μ μ {\displaystyle \mu } su di un λ-sistema contenente un π-sistema mwass P {\displaystyle {\mathcal {P}}} per costruire lo mwaswspazio di misura mwas0 ( Ω Ω , σ σ ( P ) , μ μ ) {\displaystyle \left(\Omega ,\sigma ({\mathcal {P}}),\mu \right)} . Infatti, proprio per il teorema π-λ di mwas4Dynkin, la misura mwas8 μ μ {\displaystyle \mu } è ben definita su tutto mwata σ σ ( P ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})} .

• Dato un qualunque insieme non vuoto mwatq Ω Ω {\displaystyle \Omega } , la famiglia di sottoinsiemi mwatu F 0 = { ∅ ∅ , Ω Ω } {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{0}=\{\varnothing ,\Omega \}} è una σ-algebra. Anche la famiglia mwaty F P {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}} costituita da tutti i sottoinsiemi di mwatc Ω Ω {\displaystyle \Omega } (mwatginsieme delle parti) è una σ-algebra. Queste sono rispettivamente la più piccola e la più grande σ-algebra su mwatk Ω Ω {\displaystyle \Omega } ; ossia se mwato F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} è una σ-algebra su mwats Ω Ω {\displaystyle \Omega } , allora mwatw F 0 ⊂ ⊂ F ⊂ ⊂ F P {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{0}\subset {\mathfrak {F}}\subset {\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}} . In genere, queste due σ-algebre sono dette mwat0improprie o mwat4banali.

• Ogni algebra di insiemi composta da un numero finito di elementi è una σ-algebra, in quanto non ci sono famiglie di insiemi con un numero infinito di elementi (si vedano mwauagli esempi alla voce algebra di insiemi).

• Dato un qualunque insieme non vuoto mwaui Ω Ω {\displaystyle \Omega } , la famiglia composta da tutti i sottoinsiemi di mwaum Ω Ω {\displaystyle \Omega } che hanno mwauqcardinalità mwauunumerabile o il cui complementare abbia cardinalità numerabile è una σ-algebra. Essa è distinta dall'insieme delle parti di mwauy Ω Ω {\displaystyle \Omega } se e solo se mwauc Ω Ω {\displaystyle \Omega } è non numerabile.

• Si consideri l'insieme dei mwauknumeri reali, o più in generale mwauo R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , con la usuale mwaustopologia euclidea mwauw T {\displaystyle {\mathcal {\mathrm {T} }}} (ossia mwau0 T {\displaystyle {\mathcal {\mathrm {T} }}} è la famiglia dei sottoinsiemi aperti di mwau4 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ). Si definisce mwau8σ-algebra boreliana la σ-algebra generata da mwava T {\displaystyle {\mathcal {\mathrm {T} }}} , in genere denotata con mwave B = σ σ ( T ) {\displaystyle {\mathfrak {B}}=\sigma ({\mathcal {\mathrm {T} }})} . Gli elementi di mwavi B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} sono detti mwavmboreliani, e si può dimostrare che essi hanno la mwavqcardinalità del continuo (dunque, i sottoinsiemi boreliani sono "pochi" rispetto a tutti i sottoinsiemi della retta reale che hanno un cardinalità superiore a quella dei reali stessi). Sulla σ-algebra boreliana si possono definire molte delle misure (sull'asse reale) comunemente utilizzate. È anche interessante notare che la nozione di σ-algebra è nata storicamente proprio dalla generalizzazione di questa costruzione.

• Più in generale, la costruzione di σ-algebra boreliana si può effettuare su qualunque mwavyspazio topologico mwavc ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {\mathrm {T} }})} semplicemente ponendo mwavg B = σ σ ( T ) {\displaystyle {\mathfrak {B}}=\sigma ({\mathcal {\mathrm {T} }})} . Questa σ-algebra è utilizzata per costruire misure in spazi più generali della retta reale. Ad esempio, la mwavkmisura di Haar su mwavogruppi topologici mwavslocalmente compatti è definita proprio mediante la σ-algebra boreliana del gruppo. Analogamente, la nozione di mwavwdualità tra mwav0funzioni continue e misure su di uno spazio topologico si costruisce (in spazi sufficientemente regolari) proprio equipaggiando lo spazio con la sua σ-algebra boreliana.

• Nel caso in cui mwav8 Ω Ω = R n {\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}} , è talvolta utilizzata una σ-algebra molto più ampia di quella boreliana: la mwawaσ-algebra di Lebesgue. Essa è definita come il completamento della σ-algebra boreliana rispetto alla mwawemisura di Borel, ed è fondamentale per la costruzione della celebre mwawimisura di Lebesgue. La σ-algebra di Lebesgue ha cardinalità superiore a quella del continuo: naturalmente essa è contenuta nell'insieme delle parti dei numeri reali (si veda il primo esempio sopra). È tuttavia lecito chiedersi se vi siano sottoinsiemi dei numeri reali che non appartengono alla σ-algebra di Lebesgue. Tali sottoinsiemi sono anche detti mwawminsiemi non misurabili secondo Lebesgue, e l'esistenza di tali sottoinsiemi è legata all'mwawqassioma della scelta, ovvero essi si possono costruire se e solo se si assume tale assioma. Un esempio di tali insiemi è l'mwawuinsieme di Vitali.

• Una mwawctopologia di un insieme non è necessariamente una σ-algebra dato che potrebbe non contenere i loro complementari.

cite-note-11. ↑ Un breve resoconto dello sviluppo storico della teoria della misura e dell'integrazione si trova in Boyer, mwaw4History of Mathematics, cap. 28. Per un'introduzione alle idee della teoria della misura si veda Billingsley, mwaw8Probability and measure. Una presentazione generale, ma più astratta, è data anche in Cohn, mwaxaMeasure Theory. Un classico testo introduttivo è Halmos, mwaxeMeasure Theory.

cite-note-def-22. ↑ mwaxsmwaxwW. Rudin,mwax0 Pag. 8.

cite-note-33. ↑ mwayemwayiW. Rudin,mwaym Pag. 10.

cite-note-44. ↑ mwaycmwaygW. Rudin,mwayk Pag. 16.

cite-note-55. ↑ Alcune esempi sono dati in Vestrup, mway0The Theory of Measures and Integration cap. 3 e cap. 11

• citerefrudinWalter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

• mwaziPatrick Billingsley, Probability and measure, 3rd edition, New York, John Wiley & Sons, 1995, ISBN 0-471-00710-2, ..

• mwazqCarl B. Boyer, History of Mathematics, 2nd edition, New York, John Wiley & Sons, 1989, ISBN 0-471-54397-7.

• mwazyDonald L. Cohn, Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980, ISBN 0-8493-7157-0.

• mwazgPaul R. Halmos, Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8.

• mwazoEric M. Verstrup, The Theory of Measures and Integration, Hoboken, John Wiley & Sons, 2003, ISBN 0-471-24977-7.

• mwaz4Algebra di Borel

• mwaaaAlgebra di Lebesgue

• mwaaiAlgebra di insiemi

• mwaaqδ-algebra

• mwaayFunzione misurabile

• mwaagInsieme misurabile

• mwaaoRelazione di finezza

• mwaawSistema dinamico

• mwaa4Spazio campionario

• mwabaSpazio di misura

• mwabiSpazio di probabilità

• mwabqSpazio misurabile

• mwabyClasse monotona

• citerefenciclopedia-della-matematicasigma-algebra, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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• citerefspringereom(EN) Sigma-algebra, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

• mwabw(EN) σ-algebra, in PlanetMath.